0 321
çin kalan teoremi

 

ÇİN KALAN TEOREMİ(CHİNESE REMAİNDER THEOREM)

 

1. (çinkalan teoremi) “3’e bölündüğünde 2, 5’e bölündüğünde 3, 7’ye bölündüğünde 4 kalanını veren sayıyı bulun” tipinden problemleri çözmek için kullanılan teorem. buna göre:
3’e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar 3.k+2 şeklindedir. (2, 5, 8, …)
5’e bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar 5.l+3 şeklindedir. (3, 8, 13, …)
bu durumda sayımız 15m+8 şeklindedir. (8, 23, 38, 53, …)
7’ye bölündüğünde 4 kalanını veren sayılar 7.n+4 şeklindedir. (4, 11, 18, …, 46, 53, …)
bu durumda da sayımız 105.p+53 şeklindedir.

derler ki eskiden çinli generaller kalabalık ordularını bu prensiple sayarlarmış. 7’li sıra olun derlermiş, açıkta kalan kişi sayısına bakarlarmış; 11’li sıra olun derlermiş açıkta kalanları sayarlarmış; böyle birkaç asal sayı daha denendikten sonra yukarıdaki hesabı kafadan yapıp ordudaki kişi sayısını kolayca bulurlarmış.

 

  1. 2.       misal:

    a=x (mod k)
    a=y (mod m)
    a=z (mod n)

    eşitlik sisteminde x,y,z,k,m,n verildiğinde a’yı bulmaya yarayan, uygulama alanı geniş teorem.

cinlilerin bu teoremi ispatladigi donemde zamanin hukumdari turk bilim adamlarina bu teoremin turk versiyonunu ispatlamalarini emretmis. turk bilim adamlari da turk bolen teoremini ispatlamislar.

daha basit bir ornek ile:

  1. ali’nin elinde 11 cm’lik bir cetvel olsun. ali uzunlugu “x” olan kumas parcasini olcmek icin inatla bu kisa cetveli kullanmaktadir. ali’nin kotu bir ozelligi de inatciligina ek olarak dalgin olmasidir. ali kumasin uzunlugunu olcerken cetvele defalarca taklalar attirarak kumasin sonuna ulasmis ve kumasin son takladan sonra 3 cm daha uzun oldugunu musaade etmistir. ali dalgin oldugundan cetvele kac takla attirdigini unutmustur

    bu durumda kumas eger sifir takla yapildiysa 3cm, bir takla yapildiysa 14 cm, iki takla yapildiysa 25 cm olabilir. olasilik kumesini siralarsak = { 3, 3+11, 3+2×11, 3+3×11 , 3+4×11 , …. }

    ayse ayni manifaturacida calisan akli bir karis havada bir kizcagizdir aysenin elindeki cetvel 15 cm’lik bir seydir. ayse ayni olcumu yapinca 15 cm’lik cetvel taklalari sonunda kalan kumas parcasi 5 cm cikmistir. ayse’nin olcumden cikan olasiliklar ise sunlardir ={ 5, 5+15, 5+2×15, 5 + 3×15, 5+4×15, … }

    patronlari odtu matematik bolumu mezunu olan muttalip beyefendi bu iki calisani cok sevip aralarini yapmak istediginden isyerinde herhangi bir huzursuzluk ciksin istememektedir. olcum problemi sorunsuzca halletmek icin muttalip beye yardimci olunuz.

    cevap:
    iki kumenin kesisimi alirsaniz iki kosulu da saglayan sayilar kumesini elde etmis olursunuz. isterseniz once bu kumeyi bir ifade edelim, sonra tartismamiza devam ederiz:

    ali’nin olcumleri kesisim ayse’nin olcumleri = { 80 , 80 + 15×11 , 80 + 2x15x11 , 80 + 3x15x11 }

    ilk cozum olan 80 sayisi, 11’e bolunce 3 kalanini veriyor (80 = 77 +3); 15’e bolunce 5 kalanini (80 = 75 + 5). dalgin tezgahtarlarin olcumleriyle uyumlu olan en kucuk sayi 80’dir. bir sonraki sayi ise 80 + 15×11 = 245’dir.

    eger kumasin 245 cm’den kisa oldugunu tahmin ediyorsaniz (goz var izan var) olasi tek cevap 80’dir.

    simdi gelelim muttalip amcaya yardimci olmak icin bizden beklenen aciklamaya:
    x = [ m1*15* [ 15^{-1} mod 11 ] + m2*11*[ 11^{-1} mod 15] ] mod 15*11
    bizim aradigimiz cozum denklemidir. burada m1 11cm’lik cetvel olcum sonucundan arta kalan miktari; m2 de 15cm’lik olcum sonucundan arta kalan miktari temsil eder.

    15^{-1} mod 11 ise 15’in modulo 11’deki carpmaya gore olan tersidir. yani efenim 15×3=45 oldugundan 45 de modulo 11’de 1 oldugundan bu rakam 3’tur.

    ayni sekilde 11^{-1} mod 15 ise 11’dir.

    toparlarsak

    x = m1*45 + m2*121 mod 165 aradigimiz ifadedir.

    ali ve ayse’den m1 ve m2 degerlerini alan muttalip bey yukaridaki formulu kullanarak kumasin uzunlugunu hesaplayabilir. goruyorsunuz son denklemde ne kume ne de kesisim operasyonu vardir, cozumu hasirt diye buluyoruz. bravo cinlilere.

    not:
    teoremin ispati da gayet basittir. ispat aralarinda asal olan iki sayi icin verilip kolaylikla genellenebilir. aralarinda asal olma kosulunu dikkatlice kullanmak ispat icin yeterlidir. yukaridaki ornegi dikkatle takip edenler tam bir ispati kolaylikla deduce edebilirler

 

 

 

Marmara Üniversitesinde Bilgisayar Programcılığı Bölümünü Bitirdim. AÖF İşletme ve İstanbul Ticaret Üniversitesinde 3.Sınıfta eğitimime Devam etmekteyim. Opus İt solutions Şirketinde Yazılım uzmanı olarak çalışıyorum. Ayrıca home ofis yazılım işleri ile uğraşıyorum.

Benzer Yazılar

Hiç Yorum Yok